第２話　補遺

①　引き算の規則

引き算を含む結合則

足し算の結合則は、

$$(a+b) +c = a + (b+c)\ ,$$

だった。そこで、$b \rightarrow b-c$ とすると、

$$\left( a + (b-c)\right) + c = a + \left((b-c)+c\right) \ .$$

引き算の定義 $(b-c)+c = b$ を使うと、右辺は $a+b$ になる。

$$\left(a + (b-c)\right) + c = a + b \ .$$

そこで、両辺から $c$ を引くと、引き算を含む結合則、

$$a+(b-c)=(a+b)-c\ ,$$

が導かれる。

引き算と掛け算の分配則

引き算を足し算の逆と考えると、引き算と掛け算の間にも分配則

$$a\times (b-c)=a\times b-a\times c\ ,$$

が成り立つことを示すことができる。

まず、足し算については分配則が成り立つので、

$$a\times \left( (b-c)+c\right)=a\times (b-c)+a\times c \ .$$

となる。

ところが、引き算の定義によって $(b-c)+c=b$ なので、左辺は $a\times b$ に等しい。つまり、

$$a\times b=a\times (b-c)+a\times c \ .$$

この両辺から $a\times c$ を引いて、右辺と左辺を入れ替えると、

$$a\times (b-c)=a\times b-a\times c\ .$$

これで、引き算と掛け算についての分配則が導かれた。

②　分数の規則

分数の掛け算

分数の掛け算では、分子同士、分母同士を掛ければよいことを示す。

まず、分数の定義に戻ると、

$$\frac{a}{b} \times b = a\ , ~~\frac{c}{d} \times d =c\ .$$

この2つの式の左辺同士を掛けて、結合則と交換則を使うと、

$$\left(\frac{a}{b} \times b\right) \times \left(\frac{c}{d} \times d\right)=\left( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \right) \times (b \times d)\ .$$

となる。これが、右辺同士を掛けた $a \times c$ に等しい。

$$\left( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \right) \times (b \times d) = a \times c\ .$$

そこで、両辺を $b\times d$ で割ると、

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a\times c}{b\times d}\ ,$$

となって、「掛け算では、分子同士、分母同士を掛ける」ことが示された。

約分はなぜできる

約分とは、

$$\frac{a\times c}{b\times c} = \frac{a}{b}\ ,$$

ということだ。ここで、左辺は $(a\times c)\div (b\times c)$ だから、これは

$x \times (b\times c) = a \times c$の解ということだ。

一方、右辺は $x\times b =a$ の解だ。つまり、約分ができるというのは

$$x \times (b\times c) = a \times c\ ,$$

と

$$x \times b = a\ ,$$

という2つの問題の答えが同じだということだ。

実際、$x$ が $x\times b =a$ の解だとすると、両辺に $c$ を掛けて、掛け算の結合則を使うと、$x \times (b\times c) = a \times c$になる。つまり、2つの問題の解は同じだ。これで、約分ができることが証明できた。

③　連分数で最大公約数を見つける

分数を約分するためには、分子と分母の共通の約数、つまり公約数を見つけなければいけない。一番大きな公約数、すなわち「最大公約数」を見つける方法としては、高校の数学で勉強する「ユークリッドの互除法」があるが、ここでは連分数を使った方法を説明しよう。

たとえば、1107と287の最大公約数を求めるために、分数$1107/287$を連分数表示してみる。

$$\begin{align}\frac{1107}{287} & = 3 + \frac{246}{287} \nonumber \\ &= 3+ \cfrac{1}{~~\cfrac{287}{246}~~} \nonumber \\ & = 3 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{41}{246}} \nonumber \\ & = 3 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\cfrac{246}{41}}} \ .\nonumber \end{align}$$

この最後のステップで、分母 $246/41$ の帯分数表示をしようとすると、$246/41=6$ と割り切れるので、ここで連分数は終了する。

今の計算では、最後のステップになるまでわざと約分をしなかった。そうすると、一番最後に分子の $246$ が分母の $41$ で割り切れて $6$ となる。これをさかのぼっていくと、そもそも、最初の $1107/287$ の分子と分母の最大公約数が $41$ で、それで約分すると $1107/287=27/7$ だったことがわかる。実際、上の連分数表示で $246/41=6$ とすると、$27/7$ の連分数表示、

$$\frac{27}{7} = 3 + \frac{6}{7}= 3 + \cfrac{1}{~~\cfrac{7}{6}~~ }= 3 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6}} \ ,$$

と同じになる。

どんな分数についても、この連分数を計算する操作をしていくと、現れる分数の分子と分母が小さくなっていく。だから、この操作は必ず終わる。そして、一番最後の操作で明らかになるのが、最初の分子と分母の最大公約数

だ。

実は、この方法は、「ユークリッドの互除法」と同じことだ。ここでは説明しないけれど、たとえば高校の数学の教科書の説明と比較してみると、各々のステップが対応していることがわかるから、興味があったら確認してみよう。

④　$\sqrt{2}$が無理数であることの幾何学的証明

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上図のような直角2等辺3角形 $ABC$ を考えると、

$$\sqrt{2} = \frac{AC}{AB},$$

だ。これが自然数の比として表現できるかを、幾何学的に考えよう。

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直角3角形の長辺 $AC$ 上に、$AB=AD$ となる点 $D$ を選ぶ。このとき、$AC=AD+DC=AB+DC$ なので、さっきの式から、

$$\sqrt{2} = \frac{AC}{AB}= \frac{AB+DC}{AB} = 1 +\frac{DC}{AB},$$

となる。したがって、$\sqrt{2}$ が分数なら、$DC/AB$ も分数のはずだ。

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次に、$D$ を通って $AC$ と直交する線を引き、辺 $BC$ と交わる点を$E$とする。このとき、$\angle DCE$ が45度なので、$DCE$ は直角3角形になり、$DC=DE$ だ。また、また、3角形 $ADE$ と $ABE$ は合同なので、$DE=BE$。つまり、$DC=BE$ なので、

$$AB=BC=BE+EC=DC+EC,$$

と書くことができる。これをさっきの $\sqrt{2}$ の式に代入すると、

$$\sqrt{2} = 1 +\frac{DC}{AB}=1 + \frac{DC}{DC+EC}= 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{EC}{DC}},$$

となる。

ところが、さっき示したように、$CEF$ は直角3角形なので、

$$\frac{EC}{DC} = \sqrt{2}.$$

したがって、

$$\sqrt{2}= 1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}.$$

これは、本文の7節で、$\sqrt{2}$ の連分数表示を導いたときに使った式に他ならない。これを繰り返すと、連分数表示が無限に続くので、$\sqrt{2}$ は自然数の比では表せないことがわかった。

連分数が無限に続く様子は、下の図のように幾何学的に表すことができる。

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