第8話 補遺
① オイラーの公式の導出の補足
オイラーの公式、
cosθ+isinθ=eiθ,
を導出する際に、ド・モルガンの公式、
cosθ+isinθ=(cos(θ/n)+isin(θ/n))n,
で、n→∞ としたときに、
cos(θ/n)≒1, sin(θ/n)≒θ/n,
であることを使った。この近似式(これは n を大きくしていくと、いくらでも正確になる)の導出は、第8話の補遺④の中で説明しているけれど、3角関数の微分・積分の解説の中に埋もれているので、再録しておこう。
まず、cosϵ は、直角3角形で斜辺と底辺の角度が ϵ のときの、斜辺と底辺の長さの比だが、角度がゼロになる極限で、斜辺と底辺は一致するので、ϵ が小さいときに、cos(ϵ)≒1 となることは、すぐにわかる。
そこで、このときに sinϵ≒ϵ であることが示せれば、θ/n=ϵ とすることで、上の式が導出できたことになる。そのために、第7話で活躍した「はさみうち」を使う。
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上の図のように、半径1の円を描いて、角度 ϵ で切り取る。そのときにできる扇形の面積は、円全体の面積の ϵ/2π。半径1の円の面積は π なので、扇形の面積は ϵ/2 になる。
この面積を、3角形 abc の面積と比較しよう。3角形 abc は、斜辺が1だから高さは sinϵ。底辺は1なので、面積は sinϵ/2になる。この3角形は、円から切り取った扇形に含まれているので、3角形 abc と扇形の面積を比べると、
sinϵ2<ϵ2 ,
つまり、
sinϵϵ<1 ,
となる。
一方、3角形 abd は、底辺1で高さは tanϵ なので、面積はtanϵ/2 だ。この3角形は、面積 ϵ/2 の扇形を含んでいるので、
θ2<tanϵ2 .
ここで、tanϵ=sinϵ/cosϵを思い出すと、
cosϵ<sinϵϵ ,
となる。
上の2つの段落の不等式を組み合わせると、sinϵ/ϵ のはさみうちができる。
cosϵ<sinϵϵ<1 .
ϵが小さいときに、cosθ≒1とことは既に説明した。したがって、θ→0 の極限では、sinθ/ϵ は、右からも左からも1ではさまれるので、
limϵ→0sinϵϵ=1 .
となる。つまり、ϵ が小さいときに、sinϵ≒ϵ ということだ。