第８話　補遺

①　オイラーの公式の導出の補足

オイラーの公式、

$$\cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta} ,$$

を導出する際に、ド・モルガンの公式、

$$\cos \theta + i\sin \theta = (\cos (\theta/n) + i \sin (\theta/n) )^n ,$$

で、$n\rightarrow \infty$ としたときに、

$$\cos(\theta/n) \fallingdotseq 1, ~~\sin(\theta/n) \fallingdotseq \theta/n ,$$

であることを使った。この近似式（これは $n$ を大きくしていくと、いくらでも正確になる）の導出は、第８話の補遺④の中で説明しているけれど、３角関数の微分・積分の解説の中に埋もれているので、再録しておこう。

まず、$\cos \epsilon$ は、直角３角形で斜辺と底辺の角度が $\epsilon$ のときの、斜辺と底辺の長さの比だが、角度がゼロになる極限で、斜辺と底辺は一致するので、$\epsilon$ が小さいときに、$\cos(\epsilon) \fallingdotseq1$ となることは、すぐにわかる。

そこで、このときに $\sin\epsilon \fallingdotseq\epsilon$ であることが示せれば、$\theta/n = \epsilon$ とすることで、上の式が導出できたことになる。そのために、第７話で活躍した「はさみうち」を使う。

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上の図のように、半径1の円を描いて、角度 $\epsilon$ で切り取る。そのときにできる扇形の面積は、円全体の面積の $\epsilon/2\pi$。半径1の円の面積は $\pi$ なので、扇形の面積は $\epsilon/2$ になる。

この面積を、３角形 $abc$ の面積と比較しよう。３角形 $abc$ は、斜辺が1だから高さは $\sin \epsilon$。底辺は1なので、面積は $\sin \epsilon/2$になる。この３角形は、円から切り取った扇形に含まれているので、３角形 $abc$ と扇形の面積を比べると、

$$\frac{\sin \epsilon}{2} < \frac{\epsilon}{2} \ ,$$

つまり、

$$\frac{\sin \epsilon}{\epsilon} < 1 \ ,$$

となる。

一方、３角形 $abd$ は、底辺1で高さは $\tan \epsilon$ なので、面積は$\tan \epsilon/2$ だ。この３角形は、面積 $\epsilon/2$ の扇形を含んでいるので、

$$\frac{\theta}{2} < \frac{\tan \epsilon}{2} \ .$$

ここで、$\tan \epsilon = \sin\epsilon / \cos\epsilon$を思い出すと、

$$\cos\epsilon < \frac{\sin\epsilon}{\epsilon} \ ,$$

となる。

上の2つの段落の不等式を組み合わせると、$\sin\epsilon /\epsilon$ のはさみうちができる。

$$\cos \epsilon <\frac{\sin \epsilon}{\epsilon} < 1 \ .$$

$\epsilon$が小さいときに、$\cos \theta \fallingdotseq 1$とことは既に説明した。したがって、$\theta \rightarrow 0$ の極限では、$\sin \theta / \epsilon$ は、右からも左からも1ではさまれるので、

$$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\sin \epsilon}{\epsilon} = 1 \ .$$

となる。つまり、$\epsilon$ が小さいときに、$\sin\epsilon \fallingdotseq\epsilon$ ということだ。