第８話 補遺
① オイラーの公式の導出の補足
オイラーの公式、
cosθ+isinθ=eiθ,
を導出する際に、ド・モルガンの公式、
cosθ+isinθ=(cos(θ/n)+isin(θ/n))n,
で、n→∞ としたときに、
cos(θ/n)≒
であることを使った。この近似式（これは n を大きくしていくと、いくらでも正確になる）の導出は、第８話の補遺④の中で説明しているけれど、３角関数の微分・積分の解説の中に埋もれているので、再録しておこう。
まず、\cos \epsilon は、直角３角形で斜辺と底辺の角度が \epsilon のときの、斜辺と底辺の長さの比だが、角度がゼロになる極限で、斜辺と底辺は一致するので、\epsilon が小さいときに、\cos(\epsilon) \fallingdotseq1 となることは、すぐにわかる。
そこで、このときに \sin\epsilon \fallingdotseq\epsilon であることが示せれば、\theta/n = \epsilon とすることで、上の式が導出できたことになる。そのために、第７話で活躍した「はさみうち」を使う。
上の図のように、半径1の円を描いて、角度 \epsilon で切り取る。そのときにできる扇形の面積は、円全体の面積の \epsilon/2\pi。半径1の円の面積は \pi なので、扇形の面積は \epsilon/2 になる。
この面積を、３角形 abc の面積と比較しよう。３角形 abc は、斜辺が1だから高さは \sin \epsilon。底辺は1なので、面積は \sin \epsilon/2になる。この３角形は、円から切り取った扇形に含まれているので、３角形 abc と扇形の面積を比べると、
\frac{\sin \epsilon}{2} < \frac{\epsilon}{2} \ ,
つまり、
\frac{\sin \epsilon}{\epsilon} < 1 \ ,
となる。
一方、３角形 abd は、底辺1で高さは \tan \epsilon なので、面積は\tan \epsilon/2 だ。この３角形は、面積 \epsilon/2 の扇形を含んでいるので、
\frac{\theta}{2} < \frac{\tan \epsilon}{2} \ .
ここで、\tan \epsilon = \sin\epsilon / \cos\epsilonを思い出すと、
\cos\epsilon < \frac{\sin\epsilon}{\epsilon} \ ,
となる。
上の2つの段落の不等式を組み合わせると、\sin\epsilon /\epsilon のはさみうちができる。
\cos \epsilon <\frac{\sin \epsilon}{\epsilon} < 1 \ .
\epsilonが小さいときに、\cos \theta \fallingdotseq 1 とことは既に説明した。したがって、\theta \rightarrow 0 の極限では、\sin \theta / \epsilon は、右からも左からも1ではさまれるので、
\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\sin \epsilon}{\epsilon} = 1 \ .
となる。つまり、\epsilon が小さいときに、\sin\epsilon \fallingdotseq\epsilon ということだ。