第７話　補遺

①　２次関数の積分

２次関数 $y = x^2$ の $x=0$ から $x=a$ までの面積を計算しよう。このとき、図形C$_n$ は底辺 $\epsilon=a/n$、高さが $\epsilon^2, (2\epsilon)^2, \cdots$ の長方形の集まりなので、

$$\begin{align}(図形{\rm C}_nの面積) &= \epsilon^2 \times \epsilon +\cdots + (n \epsilon)^2 \times \epsilon \\& = \left( 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 \right) \times \epsilon^3 , \end{align}$$

となる。アルキメデスは、この $( 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 )$ を

$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n ,$$

と計算した。これが正しいことを、帰納法で証明しよう。

［証明はじめ］

まず、 $n=1$ のときには、左辺は1で、右辺も $1/3 + 1/2 + 1/6 = 1$ なので、確かに正しい。

次に、この公式が自然数 $n$ のときに正しいと仮定すると、$n+1$ のとき、

$$\begin{align}1^2 + 2^2 + \cdots +n^2+ (n+1)^2 & = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n +(n+1)^2　\\& = \frac{1}{3} (n+1)^3 + \frac{1}{2} (n+1)^2+ \frac{1}{6} (n+1) \ , \end{align}$$

となって正しい。帰納法によって、この公式がすべての自然数について成り立つことがわかった。

［証明おわり］

この公式を使うと、図形C$_n$ の面積は、

$$\begin{align}(図形{\rm C}_nの面積) & = \left( \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n \right) \times \epsilon^3 \\& = \left( \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n \right) \times \left( \frac{a}{n}\right)^3 \\ & = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}\right) \times a^3 \ ,\end{align}$$

となる。そこで $n$ を大きくしていくと、括弧の中の $1/n$ や $1/n^2$ の項はいくらでも小さくなり、無視できるようになるので、$n$ が無限大の極限では面積は $a^3/3$ になる。これがアルキメデスが計算した放物線の下の面積だ。積分の表式を使うと

$$\int_0^a x^2 dx = \frac{a^3}{3} \ ,$$

と書ける。

②　指数関数の微分の補足

第8節で指数関数の微分を計算するのに使った公式、

$$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{e^{\epsilon}-1}{\epsilon} = 1 \ ,$$

を証明しよう。

そのためには、$\epsilon$ が小さいときに $e^{\epsilon}$ がどんなものか知る必要がある。そこで役に立つのが、第6回「大きな数を恐れないということ　後編」の「資産運用の法則」で登場した自然対数の性質、

$$\log_e \left( 1 + \epsilon \right) \fallingdotseq \epsilon \ ,$$

だ。この式は $\epsilon$ が小さいときだけ近似的に正しいので$\fallingdotseq$ でつないでいる。一方、対数関数の定義から、

$$\log_e e^\epsilon = \epsilon \ ,$$

なので、この2つを比較すると、

$$\log_e e^\epsilon \fallingdotseq \log_e \left( 1 + \epsilon\right) \ .$$

この式から対数をはらうと、

$$e^\epsilon \fallingdotseq 1+ \epsilon \ ,$$

となる。つまり、$\epsilon$ が小さくなっていくと、$(e^{\epsilon}-1)$ は$\epsilon$ に等しくなっていく。だから、

$$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{e^{\epsilon} - 1}{\epsilon} = 1 \ .$$

これが証明したいことだった。

③　指数関数を直接積分する

区間 $a \leq x \leq b$ を $n$ 等分して $\epsilon = (b-a)/n$ とすると、積分の定義から、

$$\begin{align}\int_a^b e^x dx &=\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \big( e^{a+\epsilon} + \cdots + e^{a+ n \epsilon} \big) \times \epsilon \\ &=\lim_{\epsilon \rightarrow 0}e^{a}\times \big( e^{\epsilon} + \cdots + e^{n \epsilon} \big) \times \epsilon \ , \end{align}$$

となる。この計算をするには「等比級数の和」の公式、

$$e^\epsilon + e^{2\epsilon} + \cdots + e^{n\epsilon} = \frac{e^{(n+1)\epsilon}-e^\epsilon}{e^\epsilon-1} \ ,$$

が必要になる。ここで、$n\epsilon = b-a$ だということを思い出すと、

$$\begin{align}\int_a^b e^x dx  &= \lim_{\epsilon\rightarrow 0} e^a \times \frac{e^{b-a +\epsilon}-e^\epsilon}{e^\epsilon - 1}\times \epsilon \\ &= \lim_{\epsilon\rightarrow 0} (e^{b+\epsilon} - e^{a+\epsilon})\times \frac{\epsilon}{e^\epsilon - 1} \ , \end{align}$$

となる。この右辺に、指数関数の微分の計算で登場した、

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{e^\epsilon - 1}{\epsilon} = 1 \ ,$$

と、$\epsilon \rightarrow 0$ で $e^{a+\epsilon}\rightarrow e^a$、$e^{b+\epsilon}\rightarrow e^b$ となることを使うと、

$$\int_a^b e^x dx=e^b-e^a \ ,$$

となって、指数関数の積分の公式が再確認できた。

指数関数の微分と積分を比較すると、微分の方は

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{e^\epsilon - 1}{\epsilon} = 1 \ ,$$

を使えばすぐに計算できるが、積分の方は等比級数の和を計算するという手間がかかっている。これが三角関数になると、微分と積分の難易度の違いはさらに大きくなる。

④　３角関数の微分と積分

まず、３角関数について復習しておこう。３角関数を $\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$ と書くときの $\theta$ は、角度を「ラジアン」という単位で測ったものだ。これは、円を一周するときの角度を、360度ではなく、$2\pi$ とする単位だ。ラジアンでは直角は $\pi/2$ になる。また、半径1の円周は $2\pi$ だから、円を $theta$ ラジアンで切り取ったときの円弧の長さはちょうど $\theta$ になる。

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３角関数を定義するには、上の図のように、頂点 $a$、$b$、$c$ の直角３角形を考え、頂点 (a\) の角度が $\theta$、頂点 $b$ は直角とする。このとき、

☆ $\sin x$ は高さ $\overline{bc}$ と斜辺 $\overline{ac}$ の比、

$$\sin \theta = \frac{\overline{bc}}{\overline{ac}}\ ,$$

☆ $\cos x$ は底辺と斜辺の比、

$$\cos \theta = \frac{\overline{ab}}{\overline{ac}} \ ,$$

☆ $\tan x$ は高さと底辺の比、

$$\tan \theta = \frac{\overline{bc}}{\overline{ab}} \ ,$$

だ。また、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の比を考えると、斜辺がキャンセルされて、高さと底辺の比、つまり、$\tan \theta$ になる。

$$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta \ .$$

３角関数を習ったときに、どうして角度をラジアンで測るのか疑問に思ったことはないかな。そのご利益は、微積分を勉強して初めてわかる。３角関数の微分や積分で使う公式に、こんなものがある。

$$\lim_{\theta\rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \ .$$

もし、一周360度の角度で３角関数を定義すると、右辺は1ではなく $2\pi/360=\pi/180$ となってしまう。そうすると、微積分の公式に $\pi$ やら180やらが現れて、式がゴチャゴチャしてくる。角度を測るのにラジアンを使う理由は、微積分の計算をやりやすくする

ためなんだ。

この公式は、三角関数の微積分の基本なので、証明しておこう。そこで使うのは、またしても「はさみうち」だ。

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［証明はじめ］

上の図のように半径1の円を描いて、角度 $\theta$ で切り取る。そのときにできる扇形の面積は、円全体の面積の $\theta/2\pi$。半径1の円の面積は $\pi$ なので、扇形の面積は $\theta/2$ になる。

次に、図の３角形 $abc$ を考える。３角形 $abc$は、斜辺が1だから高さは $\sin \theta$。底辺は1なので、面積は $\sin \theta/2$ になる。この３角形は、円から切り取った扇形に含まれているので、３角形 $abc$ と扇形の面積を比べると、

$$\frac{\sin \theta}{2} < \frac{\theta}{2} \ ,$$

つまり、

$$\frac{\sin \theta}{\theta} < 1 \ ,$$

となる。

一方、３角形 $abd$ は、底辺1で高さは $\tan \theta$ なので、面積は $\tan \theta/2$ だ。この３角形は、面積 $\theta/2$ の扇形を含んでいるので、

$$\frac{\theta}{2} < \frac{\tan \theta}{2} \ .$$

ここで、$\tan \theta = \sin\theta / \cos\theta$ を思い出すと、

$$\cos\theta < \frac{\sin\theta}{\theta} \ ,$$

となる。

上の2つの段落の不等式を組み合わせると、$\sin\theta /\theta$ のはさみうちができる。

$$\cos \theta <\frac{\sin \theta}{\theta} < 1 \ .$$

$\cos \theta$ は直角３角形の底辺と斜辺の比だから、斜辺の角度$\theta$ が小さくなると、斜辺と底辺の長さは等しくなり、$\cos\theta \rightarrow 1$ となる。つまり、$\theta \rightarrow 0$ の極限では、$\sin \theta / \theta$ は、右からも左からも1ではさまれるので、

$$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \ .$$

となる。

［証明おわり］

この式は、$\epsilon$ が小さいときに、

$$\sin \epsilon \fallingdotseq \epsilon \ ,$$

と表すこともできる。

では、準備ができたので、三角関数の微分を計算しよう。

微分の定義から、

$$\begin{align}\frac{d}{d\theta} \sin\theta &=\lim_{\theta'\rightarrow \theta}\frac{\sin\theta' - \sin\theta}{\theta'-\theta} \\ &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\sin (\theta+\epsilon) - \sin\theta}{\epsilon} \ \end{align}$$

ここで、三角関数の加法定理を使う。加法定理自身については、この連載の第8話で、複素数についての話をするときに詳しく説明することにして、ここではまず、公式を眺めてみよう。

$$\sin(\theta_1 +\theta_2) = \cos \theta_1 \times \sin \theta_2 + \sin \theta_1 \times \cos \theta_2 \ .$$

これは、左辺にある $(x+y)$ の三角関数を、右辺のように $x$ と $y$ の三角関数の積の和で表す式だ。

この加法定理を使うと、

$$\sin (\theta+\epsilon) - \sin \theta = \cos \theta \times \sin +\sin \theta \times \big( \cos \epsilon -1 \big) \ .$$

右辺第1項には $\sin \epsilon$ があるけれど、これはさっき示したように$\epsilon$で近似することができる。また、右辺第2項の $(\cos \epsilon - 1)$ は、$-\frac{1}{2}\epsilon^2$ で近似できる。これは、ピタゴラスの定理 $(\sin \epsilon)^2 + (\cos \epsilon)^2 = 1$ と $\sin \epsilon \fallingdotseq \epsilon$を 使えば証明できる。

［証明はじめ］

$(\sin \epsilon)^2 + (\cos \epsilon)^2 = 1$ で、$(\cos \epsilon)^2$ を右辺に移項して、因数分解すると、

$$(\sin \epsilon)^2 = 1 - (\cos \epsilon)^2 = (1 + \cos \epsilon)\times (1- \cos \epsilon),$$

となる。$\epsilon$ が小さいときには、$\cos \epsilon$ はほぼ1に等しいから、$1 + \cos \epsilon \fallingdotseq \ 2$ と書くと、右辺は、

$$(1 + \cos \epsilon)\times (1- \cos \epsilon)\fallingdotseq 2 (1 - \cos \epsilon).$$

これが、左辺の $(\sin \epsilon)^2 \fallingdotseq \epsilon^2$ に等しいというのだから、

$$\epsilon^2 \fallingdotseq 2( 1 - \cos \epsilon),$$

つまり、

$$\cos \epsilon - 1\fallingdotseq -\frac{1}{2}\epsilon^2,$$

となる。

［証明おわり］

だから、

$$\sin (\theta+\epsilon) - \sin x \fallingdotseq \cos \theta \times \epsilon-\frac{1}{2} \sin \theta \times \epsilon^2 \ .$$

これを $\epsilon$ で割ると、右辺第2項は $-\frac{1}{2} \sin \theta\times \epsilon$ となるので、$\epsilon \rightarrow 0$ の極限ではゼロになる。ゼロにならずに残るのは第1項だけ。つまり、

$$\begin{align}\frac{d}{d\theta} \sin x &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\sin (\theta+\epsilon) - \sin\theta}{\epsilon}\\ &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\left( \cos\theta - \frac{1}{2} \sin\theta \times \epsilon \right) \\ & =\cos x \ .\end{align}$$

で、$\sin \theta$ の微分は $\cos\theta$ になる。同じく、$\cos$ についての加法定理、

$$\cos (\theta + \epsilon) =\cos \epsilon \times \cos \theta - \sin \epsilon \times \sin \theta \ ,$$

を使うと、

$$\begin{align} \frac{d}{d\theta} \cos x &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\cos (\theta+\epsilon) - \cos\theta}{\epsilon} \\ &= - \sin \theta \ \end{align}$$

となる。

微分がわかったので、「微積分法の基本定理」を使えば積分もできる。たとえば、

$$\begin{align}\int_a^b \sin\theta \ d\theta & = \int_a^b \left( - \frac{d}{d\theta} \cos\theta\right) d\theta \\&= - \cos b + \cos a \ , \end{align}$$

となる。

３角関数の積分を定義に戻って計算するのは簡単ではない。積分を定義から計算するためには、べき関数のときには、

$$1^k + 2^k + \cdots + n^k = \frac{n^{k+1}}{k+1} + \frac{n^k}{2} + \cdots \ ,$$

指数関数のときには、

$$e^\epsilon + e^{2\epsilon} + \cdots + e^{n\epsilon}= \frac{e^{(n+1)\epsilon} - e^\epsilon}{e^\epsilon - 1} \ ,$$

を使った。同じことを３角関数でしようとすると、

$$\sin(\theta+\epsilon) + \cdots + \sin(\theta+n\epsilon) \ ,$$

を計算しなければならなくなる。これは、第8話で紹介する「オイラーの公式」を使うとすぐにできるが、それを知らずに３角関数の加法定理を何度も使って計算しようとすると大変だ。